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六年级:圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。想一想,下图中四棱锥的体积是与它等底等高的长方体(底面是正方形)体积的(    ),你有什么办法可以验证你的猜想吗?

作者:佚名   时间:2015-4-8    本文热度:    等级:★★★
  在人教版六年级数学下册课堂作业本有这样一题:圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。想一想,下图中四棱锥的体积是与它等底等高的长方体(底面是正方形)体积的(),你有什么办法可以验证你的猜想吗?
  受圆柱和圆锥体积之间的关系的启发,学生大都从四棱锥转化成长方体去猜想。几分钟思考后,学生猜想四棱锥与它等底等高的长方体体积之间的关系如下:猜想1:四棱锥的体积=与它等底等高的长方体体积×1/3;理由是圆锥的体积=与它等底等高的圆柱体积×1/3。猜想2:四棱锥的体积=与它等底等高的长方体体积×1/4;理由是四棱锥有四个斜面。猜想3:四棱锥的体积=与它等底等高的长方体体积×1/5;理由是四棱锥的四面被削掉,还有中间一块,一共五部分。还有许多学生猜了1/2、1/6等。
  要验证这个结论除非让学生用实验的方法去证明,否则以小学的知识是无法证明这个猜想的。因此我想到从长方体如何转化成四棱锥的过程入手,进行逐一排除法来验证四棱锥的体积=与它等底等高的长方体体积×1/3。
  首先,考虑沿着长方体上底面中心点,画一直线,将底面分成两个完全一样的长方形。连接正面两个底点,可以得到两边部分与中间部分体积相等,也就是左右两边的部分是长方体体积的四分之一。但是,中间部分并不是四棱锥(排除了四棱锥是长方形体积二分之一的可能)。于是,再进行以下操作:将前后底点再连接中心点,再切开,分成前、中、后三个部分(又排除了五分之一的可能)。去除前后两个部分,中间的部分就是题中的四棱锥。这时难点在于,这前后两块的体积和是不是长方体的六分之一。借助上面所画图形:中间那块又分成了3份,1/2÷3=1/6每份大约是1/6,但学生由直觉推断,这三块很明显中间的四棱锥要大,因此也排除了四棱锥是长方体的六分之一的可能。那么估计是四分之一或三分之一。于是我将第一步切下来的1/4与四棱锥比较:发现四棱锥的体积要比1/4那块大,所以四分之一也排除了。最后初步达成统一认识:四棱锥的体积=与它等底等高的长方体体积×1/3。
  本题是学了圆锥体积后的拓展,因此重点不在严密推理四棱锥体积公式,而且圆锥体的体积公式也是这样通过等底等高的圆柱体与圆锥体的倒水来推导呈现。我认为只要学生的猜测是有道理就可以结束本题了。 
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